On the maximum entropy of a sum of independent discrete random variables

Пусть $X_1,…, X_n $ - независимые случайные величины, принимающие значения в алфавите $\{0,1,…,r\} $, и $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. Теорема Шеппа-Олкина утверждает, что бинарном случае ($r=1$) энтропия Шеннона случайной величины $S_n$ максимальна, когда все $X_i$ равномерно распределены, т.е. являются бернуллиевскими с параметром $1/2$. Стремясь обобщить эту теорему на случай конечных алфавитов, мы получаем нижнюю границу для максимума энтропии доказываем, она точна некоторых частных случаях. В дополнение к этим частным случаям приводится еще один довод поддержку гипотезы о том, полученная граница представляет собой оптимальное значение всех $n$, $r$, $H(S_n)$ $X_1,…,X_{n-1}$ распределены $\{0,r\}$, то время как функция распределения масс $X_n$ является смесью (с явным образом определенными ненулевыми весами) равномерных распределений $\{0,r\}$ $\{1,…,r-1\}$.